Tarihçeye göre Ole Amble'ın algoritması ilk kez 1952'de DKNVS'de "A set of formulas for numerical integration, Norske Vid. Selsk. Forh. Trondheim, v. 25, 1952, p. 38-41. MR 14.907" ile yayımlandı. Fakat Owren ile birlikte bu teze ulaşamadık. Ancak şanslı olduğumuz nokta şu ki, bu tezdeki algoritmanın bir uygulaması Romberg'in "Vereinfachte numerische Integration, Norske Vid. Selsk. Trondheim, v. 28, 1955, p. 30-36. MR 61.517" tezinde mevcuttur. İşte bunun dışında Ole Amble'ın algoritmasını başka bir kaynakta göremezsiniz. Anlaşıldığı kadarıyla Ole Amble'ın tezi ya mevcut, ki bu durumda Norveçliler büyük bir kıskançlıkla saklıyorlar demektir, ya da Owren'in bildirdiğine göre gerçekten de kayıp. Ayrıca bu tezdeki algoritmanın Nümerik Analiz kitaplarında mevcut olmaması, bir diğer handikaptır. Ama sonuç ne olursa olsun, önce matematiğe, sonra Ole Amble'a duyduğum saygıdan dolayı azmettim bu algoritmayı ortaya çıkardım. Hem de en genel şekliyle.
İşte aranan Ole Amble'ın algoritması karşınızda: "Genelleştirilmiş Ole Amble Algoritması" .
33 sayfalık bu dosyanın içinde Ole Amble'ın orijinal algoritmasını nasıl buldum biliyor musunuz? Romberg'in tezindeki uygulamadan. Romberg bu algoritmayı kendi örneği için kullanmıştı ve ben de bu örnekteki uygulamadan hareketle Ole Amble'ın yaklaşıklıklığını (2.1)'de çözdüm. Ama bu çözümü yaparken Romberg'in metodundan da yararlandım. Çünkü Romberg Ole Amble'ın algoritmasını ya da metodunu kendi metoduna göre anlatıyordu. Yani Ole Amble'ın algoritmasını çözebilmek için her 2 metoda da hakim olmak gerekiyordu. Sonra (2.1)'de bir dönüşüm yaparak,
(2.2) A2m =(hm/24)[(f(a+hm)-f(a-hm))-(f(b+hm)-f(b-hm)]
yaklaşıklığını buldum. Bu, 19. yy.'daki Parmentier'in yaklaşıklıklığının en iyi modifikasyonu olmakla birlikte Ole Amble'ın yaklaşıklıklığıdır.
Romberg, tezinde bu yaklaşıklık hakkında şöyle der: "Diğer bazı yaklaşım yöntemleri de, yaklaşık değerler elde edilir edilmez metodumuza uyarlanabilir. Örneğin O. AMBLE [2], a ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 integral aralığının dışında her iki tarafa h uzaklığında birer nokta ekleyerek I’ya daha iyi bir yaklaşımın nasıl bulunabileceğini gösterdi (Auch manche anderen Näherungsmethoden können unser Verfahren entsprechend anpassen, sobald Näherungswerte bei mehrmaliger feinerer Teilung vorliegen. So hat u.a. O. AMBLE [2] gezeigt, wie man durch Hinzufügen je eines Punktes im Abstande h auf beiden Seiten ausserhalb des Integrationsgebietes 𝑎≤ 𝑥 ≤ 𝑏 eine bessere Annäherung an I finden kann)".
İşte bu açıklamaya göre [a, b] aralığındaki uç noktaların hm-komşuluklarına göre içteki noktalar a − hm ve b − hm ve dıştaki noktalar a + hm ve b + hm’dir. Yani Romberg’in “Ole Amble, [a,b] integral aralığının dışında her 2 tarafa h uzaklığında birer nokta ekleyerek I’ya daha iyi bir yaklaşımın nasıl bulunabileceğini gösterdi” dediği noktalar bu son noktalardır. Tabii biz bu noktaları 1952’deki haliyle değil; onları günümüze taşıyarak hem modern halde hem de en genel halde görüyoruz!
Ole Amble'ın yaklaşıklıkları ya da algoritması ise, Kn trapez formülü ve Tn orta nokta formülü olmak üzere
(2.4) Kn = Kn + An ve Tn = Tn - 2An+1
formüllerindeki kırmızı renkli yaklaşıklıklardır (ki Romberg bunları şapkalı olarak göstermişti).
Peki Ole Amble'ın genelleştirilmiş algoritması nasıl oluyor? Onu da makalemi (araştırma tezi) okurken öğreneceksiniz!